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<!DOCTYPE html>

<title>Approximation diophantienne</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Approximation diophantienne</h1>

</header>

</div>

En <a href="Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a>, l'approximation diophantienne, qui porte le nom de <a href="Diophante_d'Alexandrie" title="Diophante d'Alexandrie">Diophante d'Alexandrie</a>, traite de l'approximation des <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">nombres réels</a> par des <a href="Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombres rationnels</a>.

Il est possible d'approcher tout nombre réel par un rationnel avec une <a href="Pr%C3%A9cision_arithm%C3%A9tique" title="Précision arithmétique">précision</a> arbitrairement grande (cette propriété s'appelle la <a href="Partie_dense" title="Partie dense">densité</a> de l'ensemble des rationnels dans l'<a href="Construction_des_nombres_r%C3%A9els" title="Construction des nombres réels">ensemble des réels</a>, muni de la <a href="Distance_(math%C3%A9matiques)" title="Distance (mathématiques)">distance</a> usuelle). La <a href="Valeur_absolue" title="Valeur absolue">valeur absolue</a> de la différence entre le nombre réel à approcher et le nombre rationnel qui l'approche fournit une mesure brute de la précision de l'approximation.

Une mesure plus subtile tient compte de la taille du <a href="D%C3%A9nominateur" title="Dénominateur">dénominateur</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Illustration">Illustration</h2></div>

</caption>

<th>Nombre réel

</th>

<th>Fraction de nombres rationnels

</th></tr>

<tr>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \cong {\frac {22}{7}}\cong 3.1426...}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2baf5409eb7844ea5199707ce31e6ca63c98717.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.09ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \pi \cong {\frac {22}{7}}\cong 3.1426...}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\cong {\frac {19}{7}}\cong 2.714...}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c339b2da65d5f86bb8a5a8dfb486c8525e6a477d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:17.679ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle e\cong {\frac {19}{7}}\cong 2.714...}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \cong {\frac {34}{21}}\cong 1.6190...}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bcc6860d975afe014b594fa71f931e5ae42ea42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.278ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi \cong {\frac {34}{21}}\cong 1.6190...}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Position_du_problème_sur_la_droite_réelle">Position du problème sur la droite réelle</h2></div>

(Approximation rationnelle d'un seul réel)

Du fait de la densité de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> (ensemble des rationnels) dans <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> (ensemble des réels), tout réel peut être approché par des rationnels aussi près qu'on le souhaite au sens où :

<center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall \ \alpha \in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \ (p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*},\ \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq \varepsilon }">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \ \alpha \in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \ (p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*},\ \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94035ee84eea2e3cd3a2f0bc4f9e478efa4beeaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:49.892ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \ \alpha \in \mathbb {R} \quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \ (p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*},\ \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert \leq \varepsilon }" loading="lazy"></center>

Toute la subtilité de la démarche réside alors dans l'idée qu’il ne s’agit pas seulement d’effleurer au plus près la valeur d’un réel donné α par une fraction p/q sans aucune autre considération, mais bien d'obtenir un compromis, le meilleur qui soit, entre :

<ul><li>la « qualité », ou précision de l'approximation, dont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert }">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c69c273d302d6713b1e94f10991c0906ce31a29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.627ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert }" loading="lazy"> fournit une mesure brute,</li>

<li>et son coût, ou « prix », c'est-à-dire la taille du dénominateur du rationnel en question.</li></ul>

Afin de conserver un certain contrôle sur l’approximation, il semble en effet naturel d’affirmer qu’un réel est bien approché par la fraction p/q, si l’écart entre ce réel et p/q est petit sans que q ne soit trop grand : ce qui revient à chercher, en usant des termes précédemment employés, le meilleur « rapport qualité / prix » possible. Il paraît alors raisonnable d'essayer de majorer la distance de p/q à α par une fraction dont le dénominateur est une puissance de q, c'est-à-dire de la forme : C/qs. On voit ici apparaître deux paramètres : une constante C, dite constante d'approximation, et une puissance s, appelée ordre d'approximation, que la <a href="Th%C3%A9orie_de_l'approximation" title="Théorie de l'approximation">théorie de l'approximation</a> diophantienne a cherché à optimiser au cours des siècles.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ordre_d'approximation">Ordre d'approximation</h2></div>

On dit qu'un réel α est rationnellement approchable à l'ordre s > 0 s'il existe K > 0 tel que l'inéquation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {K}{q^{s}}}}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {K}{q^{s}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a432fe40249f8c9142a561490d1c46337167fa29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.645ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {K}{q^{s}}}}" loading="lazy"> ait une infinité de solutions.

On définit alors la <a href="Mesure_d'irrationalit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Mesure d'irrationalité">mesure d'irrationalité</a> μ(α) d'un irrationnel α comme la valeur optimale de l'ordre d'approximation de α :

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtext> il existe une infinité de couples </mtext>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (\alpha )=\sup {\left\{\mu \in \mathbb {R^{*}} \left|{\text{ il existe une infinité de couples }}(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}{\text{ tels que }}\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{q^{\mu }}}\right.\right\}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1de0ba3a2deb1b745b849ce53604df4f753a9206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:93.267ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mu (\alpha )=\sup {\left\{\mu \in \mathbb {R^{*}} \left|{\text{ il existe une infinité de couples }}(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}{\text{ tels que }}\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{q^{\mu }}}\right.\right\}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Pour un irrationnel arbitraire α, <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_d'approximation_de_Dirichlet" title="Théorème d'approximation de Dirichlet">un théorème de Dirichlet</a> fournit un ordre d'approximation minimal s = 2. Autrement dit, il affirme que la mesure d'irrationalité d'un irrationnel quelconque est supérieure ou égale à 2.

En divisant les irrationnels en plusieurs catégories, il est possible d'affiner grandement ce résultat. On peut par exemple distinguer les nombres bien approchés, appelés <a href="Nombre_transcendant" title="Nombre transcendant">nombres transcendants</a>, dont les <a href="Nombre_de_Liouville" title="Nombre de Liouville">nombres de Liouville</a>, des nombres mal approchés, ou nombres diophantiens, comprenant les <a href="Nombre_alg%C3%A9brique" title="Nombre algébrique">nombres algébriques</a>. Cette distinction est rendue pertinente par le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Liouville_(approximation_diophantienne)" title="Théorème de Liouville (approximation diophantienne)">théorème de Liouville</a> (1844) qui affirme qu'un nombre algébrique de degré d n'est approchable qu'à un ordre inférieur ou égal à d, limitant ainsi la précision des approximations rationnelles (μ(α) ≤ d).

Celui-ci reçut au cours des décennies qui suivirent plusieurs améliorations successives sous forme de diminution de l’exposant s, <abbr class="abbr nowrap" title="c’est-à-dire">c.-à-d.</abbr> des améliorations qui conduisirent à un encadrement toujours plus fin de la mesure d'irrationalité des nombres algébriques. <a href="Axel_Thue" title="Axel Thue">Axel Thue</a> (1909) (μ(α) ≤ 1 + d/2), <a href="Carl_Ludwig_Siegel" class="mw-redirect" title="Carl Ludwig Siegel">Carl Ludwig Siegel</a> (1921) (μ(α) ≤ 2√d), <a href="Freeman_Dyson" title="Freeman Dyson">Freeman Dyson</a> (1947) (μ(α) ≤ √2d) apportèrent ainsi chacun leur pierre à l'édifice, jusqu'au résultat final qui valut à <a href="Klaus_Roth" title="Klaus Roth">Klaus Roth</a> la médaille Fields en 1958, et qui fournit d'ailleurs un bon critère de transcendance : tout irrationnel algébrique α n'est approchable qu'à l'ordre 2 (μ(α) = 2). (Voir « <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Roth" title="Théorème de Roth">Théorème de Roth</a> ».)

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Constante_d'approximation">Constante d'approximation</h2></div>

Pour tout irrationnel α, on appelle constante d'approximation de α l'élément γ(α) positif de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \cup {\{+\infty \}}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \cup {\{+\infty \}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5272a41eb1c4ddbb5f996e6ba7b03d2520b7058.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \cup {\{+\infty \}}}" loading="lazy"> défini par :

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma (\alpha )=\lim \limits _{q\rightarrow +\infty }q\left\vert q\alpha -p\right\vert \quad (p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N^{*}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a9c3307e87a43ea6ffdd6b4ff571ba409be7825.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:40.439ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma (\alpha )=\lim \limits _{q\rightarrow +\infty }q\left\vert q\alpha -p\right\vert \quad (p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N^{*}} }" loading="lazy">.</dd></dl>

Un premier résultat valable pour des irrationnels x et y quelconques, assure l'égalité des constantes d'approximation lorsque x et y sont <a href="Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Nombres_équivalents" title="Fraction continue et approximation diophantienne">équivalents</a> au sens de la <a href="Relation_d'%C3%A9quivalence" title="Relation d'équivalence">relation d'équivalence</a> suivante :

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists (a,b,c,d)\in \mathbb {Z} ^{4}\ {\text{tel que}}\ y={\frac {ax+b}{cx+d}}\ {\text{et}}\ \left\vert ad-bc\right\vert =1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3733d8ce2604f317c93b0514819cfdfd57d8d10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:51.795ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \exists (a,b,c,d)\in \mathbb {Z} ^{4}\ {\text{tel que}}\ y={\frac {ax+b}{cx+d}}\ {\text{et}}\ \left\vert ad-bc\right\vert =1}" loading="lazy">.</dd></dl>

On a également <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Hurwitz_(approximation_diophantienne)" title="Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)">le théorème suivant</a>, que l'on doit à <a href="Adolf_Hurwitz" title="Adolf Hurwitz">Adolf Hurwitz</a> :

Pour tout irrationnel α l'inégalité : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{{\sqrt {5}}\ q^{2}}}}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{{\sqrt {5}}\ q^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e9e270b80ad30ef4f9f4e470dbd391b5edebd4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:17.374ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{{\sqrt {5}}\ q^{2}}}}" loading="lazy"> admet une infinité de solutions, et le nombre √5 est optimal, au sens où le théorème n'est plus vrai si n'importe quel nombre strictement plus grand lui est substitué.

Cependant, <a href="Andre%C3%AF_Markov_(math%C3%A9maticien)" title="Andreï Markov (mathématicien)">Andreï Markov</a> a démontré que ce résultat pouvait être amélioré. En effet, la théorie classique permet de calculer à l'aide de l'<a href="Nombre_de_Markov" title="Nombre de Markov">équation diophantienne de Markov</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e119c7ca90caf487196b9bae5c5c5fd055c4f940.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.258ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz}" loading="lazy"> (1)</dd></dl>

et de la relation d'équivalence définie précédemment, une majoration optimale de la valeur γ(α) selon l'irrationnel α — voire une égalité dans certains cas — sous la forme : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {9-{\frac {4}{m^{2}}}}}}">

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {9-{\frac {4}{m^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dabdaf23b9328c8c742d9eb6d9aba86ddf5bd695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:10.257ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {9-{\frac {4}{m^{2}}}}}}" loading="lazy"> où m est solution de (1). Ces constantes sont appelées <a href="Spectre_de_Lagrange" title="Spectre de Lagrange">nombres de Lagrange</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fraction_continue_et_approximation_diophantienne">Fraction continue et approximation diophantienne</h2></div>

Les <a href="Fraction_continue" title="Fraction continue">fractions continues</a> sont reconnues comme étant les <a href="Fraction_continue_et_approximation_diophantienne#Théorème_de_meilleure_approximation_rationnelle" title="Fraction continue et approximation diophantienne">meilleures approximations rationnelles</a> de réels, au sens suivant :

une fraction p/q est dite de « meilleure approximation » du réel α si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall (p',q')\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N^{*}} \quad \left(q'<q\Rightarrow \left\vert q'\alpha -p'\right\vert >\left\vert q\alpha -p\right\vert \right)}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall (p',q')\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N^{*}} \quad \left(q'<q\Rightarrow \left\vert q'\alpha -p'\right\vert >\left\vert q\alpha -p\right\vert \right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc5629eb82e272683f7dff40946891f1de324b92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.982ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \forall (p',q')\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N^{*}} \quad \left(q'<q\Rightarrow \left\vert q'\alpha -p'\right\vert >\left\vert q\alpha -p\right\vert \right)}" loading="lazy">.

L'<a href="Arbre_de_Stern-Brocot" title="Arbre de Stern-Brocot">algorithme de Stern-Brocot</a>, qui s'appuie sur un calcul successif des <a href="Suite_de_Farey" title="Suite de Farey">médiantes de Farey</a>, est cependant plus intéressant en termes de commodité calculatoire. On retrouve par ailleurs les réduites du développement en fraction continue d'un réel dans l'arbre de Stern-Brocot qui lui est associé.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<dl><dt>Méthodes</dt></dl>

<ul><li><a href="Fraction_continue" title="Fraction continue">Fraction continue</a></li>

<li><a href="Fraction_continue_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9e" title="Fraction continue généralisée">Fraction continue généralisée</a></li>

<li><a href="Suite_de_Sylvester" title="Suite de Sylvester">Suite de Sylvester</a></li>

<li><a href="S%C3%A9rie_enti%C3%A8re" title="Série entière">Série entière</a></li>

<li><a href="D%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_de_Engel" title="Développement en série de Engel">Développement en série de Engel</a></li>

<li><a href="D%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_de_Pierce" title="Développement en série de Pierce">Développement en série de Pierce</a></li>

<li><a href="D%C3%A9veloppement_en_cotangente_continue_de_Lehmer" title="Développement en cotangente continue de Lehmer">Développement en cotangente continue de Lehmer</a></li></ul>

<dl><dt>Majoration</dt></dl>

<ul><li><a href="Conjecture_de_Duffin-Schaeffer" title="Conjecture de Duffin-Schaeffer">Conjecture de Duffin-Schaeffer</a> (résolue en 2019)</li>

<li><a href="Conjecture_de_Littlewood" title="Conjecture de Littlewood">Conjecture de Littlewood</a></li>

<li><a href="Conjecture_d'Oppenheim" title="Conjecture d'Oppenheim">Conjecture d'Oppenheim</a></li>

<li><a href="Conjecture_du_coureur_solitaire" title="Conjecture du coureur solitaire">Conjecture du coureur solitaire</a></li>

<li><a href="Lemme_de_Siegel" title="Lemme de Siegel">Lemme de Siegel</a></li>

<li>Théorème de Davenport-Schmidt <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Davenport%E2%80%93Schmidt_theorem" class="extiw external" title="en:Davenport–Schmidt theorem">(en)</a></li>

<li><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Meyer" title="Théorème de Meyer">Théorème de Meyer</a></li>

<li><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_du_sous-espace" title="Théorème du sous-espace">Théorème du sous-espace</a> de <a href="Wolfgang_M._Schmidt" class="mw-redirect" title="Wolfgang M. Schmidt">Schmidt</a></li></ul>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Yann Bugeaud, <cite class="italique" lang="en">Approximation by Algebraic Numbers</cite>, <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">CUP</a>, <time>2004</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=iAg8FL5jKSgC">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Approximation+by+Algebraic+Numbers&rft.pub=CUP&rft.aulast=Bugeaud&rft.aufirst=Yann&rft.date=2004&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AApproximation+diophantienne"></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Andrej_Dujella" title="Andrej Dujella">Andrej Dujella</a>, <cite class="italique" lang="en">Number Theory</cite>, Školska knjiga <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/%C5%A0kolska_knjiga" class="extiw external" title="en:Školska knjiga">(en)</a>, <time>2020</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Number+Theory&rft.pub=%3A%C5%A0kolska+knjiga&rft.aulast=Dujella&rft.aufirst=Andrej&rft.date=2020&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AApproximation+diophantienne"></li>

<li>Daniel Duverney, <cite class="italique">Théorie des nombres</cite>, <a href="Dunod" class="mw-redirect" title="Dunod">Dunod</a>, <time>2007</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Th%C3%A9orie+des+nombres&rft.pub=Dunod&rft.aulast=Duverney&rft.aufirst=Daniel&rft.date=2007&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AApproximation+diophantienne"></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Steven R. Finch, <cite class="italique" lang="en">Mathematical Constants</cite>, <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <time>2003</time>, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> II<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mathematical+Constants&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=Finch&rft.aufirst=Steven+R.&rft.date=2003&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AApproximation+diophantienne"></li>

<li><a href="Godfrey_Harold_Hardy" title="Godfrey Harold Hardy">G. H. Hardy</a> et <a href="Edward_Maitland_Wright" title="Edward Maitland Wright">E. M. Wright</a> (<abbr class="abbr" title="traduction">trad.</abbr> de l'anglais par François Sauvageot, <abbr class="abbr" title="préface">préf.</abbr> <a href="Catherine_Goldstein" title="Catherine Goldstein">Catherine Goldstein</a>), <cite class="italique">Introduction à la théorie des nombres</cite> [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+%C3%A0+la+th%C3%A9orie+des+nombres&rft.aulast=Hardy&rft.aufirst=G.+H.&rft.au=E.+M.+Wright&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AApproximation+diophantienne">, chap. XI</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<ul><li>Benoît Mselati, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/nombres/reseaux.pdf"><cite style="font-style:normal;">Approximation diophantienne et réseaux</cite></a> » (consulté le <time class="nowrap" datetime="2018-03-17" data-sort-value="2018-03-17">17 mars 2018</time>)</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cours de <a href="Michel_Waldschmidt" title="Michel Waldschmidt">Michel Waldschmidt</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/IntroductionDiophantineMethods.pdf"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Introduction to Diophantine methods irrationality and trancendence</cite></a> »</li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Arithmétique et théorie des nombres </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-01-15" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Approximation_diophantienne&oldid=222112137">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

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